روش کلاسیک تجزیه سری های زمانی در دهه 1920 آغاز شد و تا دهه 1950 به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفت. هنوز اساس بسیاری از روش‌های تجزیه سری‌های زمانی را تشکیل می‌دهد، بنابراین مهم است که بدانیم چگونه کار می‌کند. اولین مرحله در تجزیه کلاسیک استفاده از روش میانگین متحرک برای تخمین چرخه روند است، بنابراین ما با بحث در مورد میانگین های متحرک شروع می کنیم.
هموارسازی میانگین متحرک
میانگین متحرک ترتیب \(m\) را می توان به صورت \[\begin \hat_ = \frac \sum_^k y_، \tag \end\] که در آن \(m=2k+1\) نوشت. یعنی تخمین چرخه روند در زمان \(t\) با میانگین‌گیری مقادیر سری زمانی در دوره \(k\) \(t\) بدست می‌آید. مشاهداتی که در زمان نزدیک هستند نیز احتمالاً از نظر ارزش نزدیک هستند. بنابراین، میانگین مقداری از تصادفی بودن داده‌ها را حذف می‌کند و یک جزء چرخه روند صاف باقی می‌گذارد. ما این را \(m\) -MA می نامیم، به معنای میانگین متحرک نظم \(m\).
شکل 6. 4: فروش برق مسکونی (به استثنای آب گرم) برای استرالیای جنوبی: 1989-2008.
به عنوان مثال، شکل 6. 4 را در نظر بگیرید که حجم برق فروخته شده به مشتریان مسکونی در استرالیای جنوبی را هر سال از سال 1989 تا 2008 نشان می دهد (فروش آب گرم حذف شده است). داده ها نیز در جدول 6. 1 نشان داده شده است.
| سال | فروش (گیگاوات ساعت) | 5-MA |
|---|---|---|
| 1989 | 2354. 34 | |
| 1990 | 2379. 71 | |
| 1991 | 2318. 52 | 2381. 53 |
| 1992 | 2468. 99 | 2424. 56 |
| 1993 | 2386. 09 | 2463. 76 |
| 1994 | 2569. 47 | 2552. 60 |
| 1995 | 2575. 72 | 2627. 70 |
| 1996 | 2762. 72 | 2750. 62 |
| 1997 | 2844. 50 | 2858. 35 |
| 1998 | 3000. 70 | 3014. 70 |
| 1999 | 3108. 10 | 3077. 30 |
| 2000 | 3357. 50 | 3144. 52 |
| 2001 | 3075. 70 | 3188. 70 |
| 2002 | 3180. 60 | 3202. 32 |
| 2003 | 3221. 60 | 3216. 94 |
| 2004 | 3176. 20 | 3307. 30 |
| 2005 | 3430. 60 | 3398. 75 |
| 2006 | 3527. 48 | 3485. 43 |
| 2007 | 3637. 89 | |
| 2008 | 3655. 00 |
در آخرین ستون این جدول، میانگین متحرک مرتبه 5 نشان داده شده است که تخمینی از چرخه روند ارائه می دهد. اولین مقدار در این ستون، میانگین پنج مشاهدات اول (1989-1993) است. مقدار دوم در ستون 5-MA میانگین مقادیر برای 1990-1994 است. و غیرههر مقدار در ستون 5-MA میانگین مشاهدات در پنجره پنج ساله با مرکز سال مربوطه است. در نماد معادله (6. 1)، ستون 5-MA حاوی مقادیر \(\hat_\) با \(k=2\) و \(m=2k+1=5\) است. این به راحتی با استفاده از آن محاسبه می شود
هیچ ارزشی برای دو سال اول و دو سال آخر وجود ندارد، زیرا ما دو مشاهده در هر دو طرف نداریم. بعداً از روش‌های پیچیده‌تری برای تخمین چرخه روند استفاده خواهیم کرد که تخمین‌هایی را در نزدیکی نقاط پایانی ممکن می‌سازد.
برای دیدن اینکه تخمین چرخه روند چگونه به نظر می رسد، آن را همراه با داده های اصلی در شکل 6. 5 رسم می کنیم.
شکل 6. 5: فروش برق مسکونی (سیاه) به همراه تخمین 5-MA از چرخه روند (قرمز).
توجه داشته باشید که چرخه روند (به رنگ قرمز) نرمتر از داده های اصلی است و حرکت اصلی سری زمانی را بدون تمام نوسانات جزئی ثبت می کند. ترتیب میانگین متحرک، همواری تخمین چرخه روند را تعیین می کند. به طور کلی، سفارش بزرگتر به معنای منحنی صاف تر است. شکل 6. 6 اثر تغییر ترتیب میانگین متحرک برای داده های فروش برق مسکونی را نشان می دهد.
شکل 6. 6: میانگین های متحرک مختلف اعمال شده برای داده های فروش برق مسکونی.
میانگین‌های متحرک ساده مانند اینها معمولاً دارای ترتیب فرد هستند (به عنوان مثال، 3، 5، 7، و غیره). به این صورت است که آنها متقارن هستند: در میانگین متحرک از مرتبه \(m=2k+1\)، مشاهدات میانی و \(k\) مشاهدات در هر طرف، میانگین می‌شوند. اما اگر \(m\) زوج بود، دیگر متقارن نبود.
میانگین متحرک میانگین های متحرک
امکان اعمال میانگین متحرک برای میانگین متحرک وجود دارد. یکی از دلایل انجام این کار متقارن کردن میانگین متحرک مرتبه زوج است.
برای مثال، ممکن است میانگین متحرک مرتبه 4 را بگیریم و سپس میانگین متحرک دیگری از مرتبه 2 را به نتایج اعمال کنیم. در جدول زیر، این کار برای چند سال اول داده های تولید سه ماهه آبجو استرالیا انجام شده است.
| سال | ربع | مشاهده | 4-MA | 2x4-MA |
|---|---|---|---|---|
| 1992 | Q1 | 443 | ||
| 1992 | Q2 | 410 | 451. 25 | |
| 1992 | Q3 | 420 | 448. 75 | 450. 00 |
| 1992 | Q4 | 532 | 451. 50 | 450. 12 |
| 1993 | Q1 | 433 | 449. 00 | 450. 25 |
| 1993 | Q2 | 421 | 444. 00 | 446. 50 |
| 1993 | Q3 | 410 | 448. 00 | 446. 00 |
| 1993 | Q4 | 512 | 438. 00 | 443. 00 |
| 1994 | Q1 | 449 | 441. 25 | 439. 62 |
| 1994 | Q2 | 381 | 446. 00 | 443. 62 |
| 1994 | Q3 | 423 | 440. 25 | 443. 12 |
| 1994 | Q4 | 531 | 447. 00 | 443. 62 |
| 1995 | Q1 | 426 | 445. 25 | 446. 12 |
| 1995 | Q2 | 408 | 442. 50 | 443. 88 |
| 1995 | Q3 | 416 | 438. 25 | 440. 38 |
| 1995 | Q4 | 520 | 435. 75 | 437. 00 |
| 1996 | Q1 | 409 | 431. 25 | 433. 50 |
| 1996 | Q2 | 398 | 428. 00 | 429. 62 |
| 1996 | Q3 | 398 | 433. 75 | 430. 88 |
| 1996 | Q4 | 507 | 433. 75 | 433. 75 |
علامت " \(2\times4\) -MA" در ستون آخر به معنای 4-MA و به دنبال آن 2-MA است. مقادیر ستون آخر با گرفتن میانگین متحرک مرتبه 2 از مقادیر ستون قبلی به دست می آیند. به عنوان مثال، دو مقدار اول در ستون 4-MA 451. 25=(443+410+420+532)/4 و 448. 75=(410+420+532+433)/4 هستند. اولین مقدار در ستون 2x4-MA میانگین این دو است: 450. 00=(451. 25+448. 75)/2.
هنگامی که یک 2-MA از میانگین متحرک یک سفارش یکنواخت (مانند 4) پیروی می کند ، آن را "میانگین حرکت محور سفارش 4" می نامند. این امر به این دلیل است که اکنون نتایج متقارن هستند. برای دیدن اینکه این مورد است ، می توانیم \ (2 \ times4 \) -ma را به شرح زیر بنویسیم: \ [\ شروع \ hat_ & = \ frac \ big [\ frac (y_+y_+y_+y_)+\ \ \ \ \ \frac (y_+y_+y_+y _) \ big] \\ & = \ fracy _+\ frac14y_+\ frac14y _+\ frac14y _+\ frac18y_.\ end \] اکنون میانگین وزنی مشاهدات متقارن است. به طور پیش فرض ، عملکرد MA () در R یک میانگین متحرک محور را برای حتی سفارشات باز می گرداند (مگر اینکه مرکز = نادرست مشخص شود).
سایر ترکیبات میانگین متحرک نیز امکان پذیر است. به عنوان مثال ، اغلب از \ (3 \ times3 \) -ma استفاده می شود ، و از میانگین متحرک سفارش 3 و به دنبال آن میانگین متحرک دیگر سفارش 3 استفاده می شود. به طور کلی ، یک سفارش یکنواخت باید توسط یک سفارش یکنواخت دنبال شودتا آن را متقارن کند. به همین ترتیب ، یک سفارش عجیب و غریب باید توسط یک سفارش عجیب و غریب دنبال شود.
برآورد چرخه روند با داده های فصلی
متداول ترین استفاده از میانگین های متحرک محور برای تخمین چرخه روند از داده های فصلی است.\ (2 \ times4 \) -ma را در نظر بگیرید: \ [\ hat_ = \ fracy_ + \ frac14y_ + \ frac14y_ + \ frac14y_ + \ frac18y_.\] هنگامی که به داده های سه ماهه اعمال می شود ، هر سه ماهه سال وزن برابر است زیرا اولین و آخرین شرایط در سالهای متوالی در همان سه ماه اعمال می شود. در نتیجه ، تغییرات فصلی به طور متوسط انجام می شود و مقادیر حاصل از \ (\ hat_t \) تغییرات فصلی کم و یا دیگر باقی نمی ماند. یک اثر مشابه با استفاده از \ (2 \ برابر 8 \) -ma یا A \ (2 \ بار 12 \) -ma به داده های سه ماهه بدست می آید.
به طور کلی ، یک \ (2 \ برابر m \) -ma معادل میانگین متحرک وزنی سفارش \ (m+1 \) است که در آن همه مشاهدات وزن \ (1/m \) را می گیرند ، به جز اولین و آخریناصطلاحاتی که وزن می گیرند \ (1/(2m) \). بنابراین ، اگر دوره فصلی یکنواخت و از نظم \ (m \) باشد ، ما برای تخمین چرخه روند از \ (2 \ بار m \) -ma استفاده می کنیم. اگر دوره فصلی عجیب و از نظر ترتیب \ (m \) باشد ، ما برای تخمین چرخه روند از \ (m \) -ma استفاده می کنیم. به عنوان مثال ، می توان از \ (2 \ برابر 12 \) -ma برای تخمین چرخه روند داده های ماهانه استفاده کرد و می توان از 7-MA برای تخمین چرخه روند داده های روزانه با یک فصلی هفتگی استفاده کرد.
گزینه های دیگر برای ترتیب کارشناسی ارشد معمولاً منجر به تخمین های چرخه روند آلوده به فصلی در داده ها می شود.
مثال: تولید تجهیزات الکتریکی
شکل 6. 7: A 2x12-MA که به شاخص سفارشات تجهیزات الکتریکی اعمال می شود.
شکل 6. 7 نشان می دهد \ (2 \ Times12 \) -ma که به شاخص سفارشات تجهیزات الکتریکی اعمال می شود. توجه کنید که خط صاف هیچ فصلی را نشان نمی دهد. تقریباً همان چرخه روند نشان داده شده در شکل 6. 1 است که با استفاده از یک روش بسیار پیچیده تر از میانگین متحرک تخمین زده می شود. هر انتخاب دیگری برای ترتیب میانگین متحرک (به جز 24 ، 36 و غیره) منجر به یک خط صاف می شود که نوسانات فصلی را نشان می دهد.
میانگین های متحرک وزنی
ترکیبی از میانگین های متحرک منجر به میانگین های متحرک وزنی می شود. به عنوان مثال ، \ (2 \ times4 \) -ma که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، معادل 5-ماری وزنی با وزنهای داده شده توسط \ (\ چپ [\ frac ، \ frac ، \ frac ، \ frac ، \ frac \ right] \ است.). به طور کلی ، یک وزنه برداری \ (m \) -ma را می توان به عنوان \ [\ hat_t = \ sum_^k a_j y_ ، \] که \ (k = ( m-1)/2 \) نوشته شده است ، و وزن ها داده می شود. توسط \ (\ سمت چپ [a _ ، \ dots ، a_k \ راست] \). این مهم است که وزنه ها به یک جمع می شوند و متقارن هستند به طوری که \ (a_j = a_ \). ساده \ (m \) -ma یک مورد خاص است که در آن همه وزن ها برابر با \ (1/m \) هستند.
مهمترین مزیت میانگین متحرک وزنی این است که آنها تخمین صاف تری از چرخه روند دارند. به جای مشاهدات وارد و محاسبه با وزن کامل ، وزن آنها به آرامی افزایش می یابد و سپس به آرامی کاهش می یابد و در نتیجه یک منحنی نرم تر ایجاد می شود.
